Тема 3. Математичні моделі електричних схем
Математичні моделі електричних схем
1. Математичні моделі електричних схем з двополюсниками1.1. Повна система рівнянь електричної схеми
1.3. Метод вузлових напруг
1.2. Формулювання законів Кірхгофа
1.4. Метод контурних струмів
2. Багатополюсні елементи електричних схем
3. Особливості формування математичних моделей електричних схем з багатополюсниками
5. Метод контурних струмів
Ця математична модель використовує як змінні, що характеризують електричний стан кола, контурні струми, тобто струми, які циркулюють у деякому контурі схеми. Контурні струми і струми елементів електричної схеми пов’язані простими лінійними співвідношеннями, а саме струм будь-якого елемента схеми визначається як алгебрична сума контурних струмів контурів, у які цей елемент входить. Знак доданка у цій сумі визначається співвідношенням напрямків струмів контурів і струму цього елемента.
Зауважимо, що у цьому методі беруться до уваги контурні струми лише системи незалежних контурів.
Для виведення рівнянь контурних струмів розглянемо електричну схему, що складається з резисторів та джерел ЕРС, тобто в загальному випадку кожен елемент можна подати як неідеальне джерело ЕРС (рис.2.11, а). На підставі другого закону Кірхгофа запишемо рівняння для деякого контуру
і врахувавши співвідношення (2.9а), отримаємо
(2.18)
Визначимо струми окремих елементів схеми через контурні струми
, (2.19)
де Is – контурні струми контурів до складу яких входить k-й елемент схеми. Виконавши певні перестановки у рівнянні (2.18) і врахувавши співвідношення (2.19), одержимо рівняння контурних струмів для вибраного контуру у такому вигляді
(2.20)
Записавши такі рівняння для всіх контурів із незалежної системи контурів, отримаємо систему рівнянь контурних струмів для розглянутої схеми, яку зручно записати у матричному вигляді
, (2.21)
де Z – матриця опорів системи рівнянь контурних струмів; E– вектор ЕРС контурів; I – вектор контурних струмів. Елементи матриці Z та вектор E визначаються за такими правилами.
Діагональні елементи матриці Z є сумою опорів компонентів схеми, що утворюють контур, який відповідає цьому елементу.
Позадіагональний елемент матриці Z є сумою опорів компонентів схеми, які є спільними для двох контурів, що відповідають цьому елементу, причому ця сума береться із знаком “+”, якщо напрямки обходів контурів у спільних елементах схеми збігаються і “–” коли вони є протилежними.
Компоненти вектора E дорівнюють алгебричній сумі ЕРС джерел, які входять у відповідний контур.
Приклад 2.3 Складемо рівняння контурних струмів для такої схеми.
![](https://org2.knuba.edu.ua/pluginfile.php/65282/mod_book/chapter/168/m3.jpg)
Рис.2.15. Схема до прикладу 2.3
Систему незалежних контурів цієї схеми утворюють три контури, позначені римськими цифрами. Додатні напрямки обходу контурів показані на рис.2.15. Запишемо матрицю Z та вектор E для цієї схеми згідно з наведеними вище правилами.
Навпроти
рядків та стовпчиків матриці Z та вектора вказані відповідні контури.