Тема 7. Основні характеристики та аналіз кіл змінного струму

7 Застосування інтеграла Дюамеля до розрахунку перехідних процесів

            Цей метод застосовується, коли потрібно визначити перехідну напругу чи струм у деякому елементі схеми, зумовлені під’єднанням до схеми джерела, струм чи напруга  якого мають складну форму.

            Для розрахунку перехідного процесу задану схему подамо у вигляді, наведеному на рис.4.18.

 

Рис.4.18.  Подання схеми під час перехідного процесу за  допомогою інтеграла Дюамеля

 

            На рис.4.18 – джерело змінної ЕРС, вмикання якого зумовлює перехідний процес,  –  вихідна напруга, яку потрібно визначити.

            Введемо поняття операторного коефіцієнта передавання напруги для прохідного чотириполюсника ПЧ

                                                                ,                                                           (4.35)

де – операторне зображення вихідної напруги чотириполюсника;

  – операторне зображення вхідної напруги.

Якщо припустити, що вхідним сигналом є напруга у вигляді (функція Дірака), операторне зображення якої згідно з табл. 4.15 дорівнює одиниці, то з (4.35) випливає

                                                                .                                                           (4.36)

А це означає, що операторний коефіціент є не що інше, як зображення за Лапласом вихідної напруги чотириполюсника при поданні на його вхід сигналу у вигляді - імпульсу.

Цю напругу позначають

                                                             -1                                                          (4.37)

і називають імпульсною характеристикою чотириполюсника ПЧ.

Перепишемо співвідношення (4.35) у дещо іншому вигляді

і застосуємо до лівої і правої частин зворотне перетворення Лапласа, використавши  інтеграл згортки.

                                                                                                           (4.38)

Отриманий у такий спосіб вираз називають інтегралом Дюамеля і він дає змогу визначити перехідну напругу у схемі у разі вмикання змінної напруги будь-якої форми.

            Інтеграл Дюамеля можна обчислити як аналітично, так і числовими методами.

Зауважимо, що вираз (4.38) придатний для розрахунку перехідної напруги лише за умови нульових початкових умов, тобто коли . Якщо ж така умова не виконується, то для розрахунку перехідних процесів варто користуватися таким виразом

                                              .                                          (4.39)

            Доволі часто для характеристики перехідних процесів у колі використовують перехідну характеристику , тобто значення вихідної напруги чотириполюсника ПЧ при вхідному сигналі у формі функції Хевісайда . Зв’язок між імпульсною перехідною характеристикою кола та її перехідною характеристикою такий:

                                                                    .                                                              (4.40)

Зручність використання перехідної характеристики електронного кола для обчислення інтеграла Дюамеля полягає у можливості її експериментального визначення.

            Приклад 4.8. Розрахуємо перехідний процес у послідовному з’єднанні резистора та конденсатора (рис. 4.19, а), під’єднаних до  джерела  змінної напруги (рис. 4.19, б).

а

б

Рис. 4.19.  Схема до прикладу 4.8

 

Знайдемо передавальну функцію  згідно з виразом (4.35)

                                               .                                                  

            Враховуючи, що  є операторним зображенням імпульсної перехідної характеристики цього кола, визначимо її.

                                                 -1 .                                                                

            Перехідну напругу на конденсаторі  доцільно визначати для двох випадків

–                коли  (тобто під час дії вхідного сигналу),

–                коли  (після закінчення дії вхідного сигналу).

Допустивши, що початкова напруга конденсатора нульова, для першого випадку згідно з (4.38) одержимо

.

                  У другому випадку, врахувавши що  при  дорівнює 0, перехідна напруга на конденсаторі розраховується так:

 

.