Теоретичні відомості.

Основними геометричними характеристиками плоского перерізу, віднесеного до правосторонньої системи координат , є:

? площа ;

? статичні моменти , ;

? осьові моменти інерції , ;

? відцентровий момент інерції .

В полярній системі координат  вводиться полярний момент інерції .

Центр ваги перерізу знаходиться в точці  з координатами

,   . (1.1)

Координатні вісі , що проходять через центр ваги перерізу, називаються центральними вісями. Статичні моменти відносно центральних вісей .

При паралельному переносі системи координат

,  (1.2)

моменти інерції плоскої фігури в новій системі координат визначаються за формулами

 , ,

. (1.3)

При повороті системи координат на кут  проти годинникової стрілки

,  (1.4)

моменти інерції перетворюються за формулами

;

;

. (1.5)

Система координат , з початком в центрі ваги перерізу, в якій відцентровий момент інерції , називається головною центральною системою координат. Її положення відносно вихідної центральної системи координат  визначається кутом 

. (1.6)

Якщо , то або всі вісі головні (при ) або  (при ). Після визначення кута  головні осьові моменти інерції , знаходяться за першими двома формулами (1.5). Третє рівняння  (1.5) можна використовувати для перевірки.

Осьові моменти інерції в головній системі координат набувають екстремальних значень (найбільше і найменше з усіх можливих). Ці величини визначаються з квадратного рівняння і дорівнюють

. (1.7)

Головні радіуси інерції  та  визначаються за формулами

, . (1.8)

За їх допомогою будується еліпс інерції

 . (1.9)

Головні моменти опору визначаються за формулами

, ,       (1.10)

де ,  ? відповідно відстані до найвіддаленіших точок від осей  та .