Тема 2. Електричні кола постійного струму

1. Застосування законів Ома і Кірхгофа для розрахунку кіл постійного струму

1.     Застосування законів Ома і Кірхгофа для розрахунку кіл постійного струму

Закони Кірхгофа, так само як закони Ома, є основними законами теорії

електричних кіл. Вони дозволяють виконати розрахунки будь-якого складного електричного ланцюга. Цей розрахунок полягає звичайно у визначенні напрямку й величини струму на всіх ділянках ланцюга по заданих ЕРС і опорам.
Перший закон Кірхгофа стосується вузлів електричного ланцюга,
визначає баланс струмів у них і формулюється в такий спосіб:
Алгебраїчна сума струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю:

Струми, спрямовані до вузла, прийнято вважати позитивними (зі знаком
"плюс"), а струми, спрямовані від вузла – негативними (зі знаком "мінус").
Тому сума струмів, спрямованих до вузла, рівняється сумі струмів,
спрямованих від вузла.

Другий закон Кірхгофа стосується будь-яких замкнених контурів, які
можна виділити в розгалуженім електричнім колі, і визначає баланс напруг у них:
Алгебраїчна сума ЕРС у будь-якому контурі електричного ланцюга
дорівнює алгебраїчній сумі падінь напруг на опорах цього контуру:

Простими ланцюгами постійного струму називаються ланцюги з одним
джерелом при послідовнім, паралельнім і змішанім з'єднанні приймачів.
Послідовний ланцюг є основним ланцюгом. Струм I у ньому скрізь
однаковий (див. мал. 2), а напруга U розподіляється між ділянками
послідовного ланцюга пропорційно їх опорам. Так, у відповідності із другим законом Кірхгофа (2), для одного ідеального джерела ЕРС

 Позначимо загальний опір послідовної ціп R. Тоді з урахуванням закону Ома для ділянки ланцюга U = IR, U 1  = IR1,     U 2  = IR2, U 3  = IR3, тобто

Мал. 2. Послідовне з'єднання приймачів
Розділивши обидві частини рівності (4) на загальний струмI , одержимо
R = R 1+ R  2 + R 3 (5)
Загальний опір R послідовному ланцюга дорівнює сумі окремих опорів.

Крім послідовного ланцюга, широко використовується паралельне
з'єднання (мал. 3).
При паралельнім з'єднанні повний струм I, що йде від джерела, у вузлі А
розділяється (розгалужується) відповідно до першого закону Кірхгофа (1) на
кілька струмів по числу включених приладів. Усі ці струми I1, I2 , I3 одночасно
протікають по галузях з опорами R1, R2, R3 відповідно, і у вузлі Б назад
збираються в загальний струм I. При цьому до всіх паралельних гілок
прикладена та сама напруга U.

Мал. 3. Паралельне з'єднання приймачів
Відповідно до першого закону Кірхгофа сума струмів, що витікають із
вузла, тобто сума струмів у всіх гілках, дорівнює струму, що втікає у вузол:

Позначивши загальний опір послідовного ланцюга R. Тоді з урахуванням
закону Ома для ділянки кола рівність (6) запишеться так:

Розділивши обидві частини рівності (7) на загальну напругу U, одержимо:

2. Метод еквівалентного генератора.Теорема Тевенена. Теорема Нортона

Метод еквівалентного генератора полягає в тому, що, виділивши в складному лінійному колі одну пасивну вітку, можна всю іншу (активну) частину цього складного кола замінити еквівалентним реальним джерелом електричної енергії. Еквівалентність заміни полягає в тому, що струм у згаданій пасивній вітці після заміни залишиться такої ж сили, що й до заміни.

Якщо йдеться про заміну активної частини кола еквівалентним реальним джерелом напруги, то принцип еквівалентного генератора формулюється як теорема Тевенена. Якщо ж йдеться про заміну активної частини кола еквівалентним реальним джерелом струму, то принцип еквівалентного генератора формулюється як теорема Нортона.

Перш ніж викласти формулювання вказаних теорем, введемо два важливі поняття, які використані в цих теоремах.

Режим холостого ходу активного двополюсника – це такий режим його роботи, при якому затискачі двополюсника розімкнені (приклад – на рис. 1.37).

 Рис. 1.37

 Режим короткого замикання активного двополюсника – це такий режим його роботи, при якому його затискачі замкнені перемичкою (її опір дорівнює нулю). Приклад наведено на рис. 1.38.

 Рис. 1.38

 Внутрішній опір активного двополюсника – це вхідний опір утвореного з нього допоміжного пасивного двополюсника. Це утворення відбувається наступним чином: всі ідеальні джерела напруги, які містяться в активному двополюснику, замінюють на перемички з нульовим опором, а всі ідеальні джерела струму, які містяться в цьому двополюснику, замінюють на розриви (тобто взагалі виключають із схеми вітки з ідеальними джерелами струму). Приклад перетворення наведено на рис. 1.39.

 Рис. 1.39

 Тепер перейдемо до формулювань теорем Тевенена та Нортона.

Теорема Тевенена:будь-який лінійний активний двополюсник може бути замінений еквівалентним реальним джерелом напруги, величина ЕРС якого E_{г екв} дорівнює напрузі холостого ходу цього активного двополюсника, а внутрішній опір R_{г екв} дорівнює внутрішньому опору цього ж активного двополюсника.

Для наочності зазначимо, що напрямок ЕРС еквівалентного джерела є протилежним напрямку напруги холостого ходу. Описану заміну ілюструє рис. 1.40.

Рис. 1.40

Теорема Нортона:будь-який лінійний активний двополюсник може бути замінений еквівалентним реальним джерелом струму, величина генераторного струму J_{г екв} якого дорівнює струмові короткого замикання крізь затискачі цього активного двополюсника, а внутрішній опір R_гекв дорівнює внутрішньому опору цього ж активного двополюсника.

Для наочності зазначимо, що напрямок генераторного струму J збігається з напрямком I_кз короткого замикання (див. рис. 1.38). Описану заміну ілюструє рис. 1.41.

 Рис. 1.41

3. Метод контурних струмів

Метод базується на другому законі Кірхгофа і законі Ома. При аналізі кола вважають, що в кожному незалежному контурі протікає свій контурний струм. Рівняння для контурних струмів складають за другим законом Кірхгофа. Кіль-кість рівнянь дорівнює кількості незалежних контурів . На Рис. 27 зображено коло із двома незалежними контурами.  - струми у вітках кола,  – контурні струми. Очевидно, струми у вітках, через які проходить один кон-турний струм, дорівнюють цим контурним струмам:  . У вітках, через які проходять декілька контурних струмів, струми дорівнюють алгебра-їчній сумі контурних струмів:  .

 або: 

Введемо позначення:

 -власний опір першого контура, це сума опорів віток, що на-лежать першому контуру.

 - власний опір другого контура, це сума опорів віток, що на-лежать другому контуру.

 - спільний (взаємний) опір першого та другого контурів, це сума опорів віток, що належать одночасно першому і другому контурам.

 - контурна ЕРС першого контура.

 - контурна ЕРС другого контура.

Увага! ЕРС, які співпадають із вибраним напрямом контурного струму входять у контурну ЕРС зі знаком «плюс». Рекомендується контурні струми спрямовувати однаково, наприклад, за годинниковою стрілкою, тоді в рів-няннях всі взаємні опори фігурують зі знаком мінус (якщо вибрані елементарні незалежні контури у планарному колі).

У загальному вигляді рівняння, складені за методом контурних струмів, для будь-якого двоконтурного кола виглядають так:

Аналогічно записується система рівнянь для триконтурної схеми:

 або у вигляді матриці: 

Де: 

Розв’язуючи систему рівнянь будь-яким способом, наприклад, за правилом Крамера, одержуємо контурні струми:

де:  ;  

Контурні струми можна виразити через контурні ЕРС і алгебраїчні допов-

нення головного визначника системи рівнянь:

або: 

де:  – головний визначник системи,  – алгебраїчні доповнення.У загальному вигляді для n – контурного кола -

будь-який контурний струм:

Для непланарного електричного кола незалежні контури слід визначати за допомогою дерева. Наприклад, розглянемо коло на Рис. 28, а.

У колі 5 вузлів. (Рис. 28, б). Дерево має чотири вітки. Кожна вітка зв’язку (пунктирні лінії, номери в кружках) разом з відповідними вітками дерева (су-цільні лінії) утворює незалежний контур (6 незалежних контурів).

Алгоритм розрахунку електричного кола методом контурних струмів.

1. Вибираємо незалежні контури і орієнтуємо в них контурні струми. При цьому через вітку, в якій є джерело струму без паралельно підімкненого резистора, повинен проходити лише один контурний струм, який дорівнює струму джерела. Рівняння для такого контура не складається, тому що його струм відомий.

2. Визначаємо власні та спільні опори контурів і контурні ЕРС.

3. Будь-яким способом розв’язуємо систему рівнянь і визначаємо контурні струми.

4. За знайденими контурними струмами знаходимо струми у вітках схеми, як алгебраїчні суми контурних струмів.

4. Метод вузлових потенціалів

Метод базується на першому законі Кірхгофа і законі Ома. Розглянемо коло (Рис. 29). Кількість незалежних рівнянь , що складаються за першим законом Кірхго-фа на одиницю менше від кількості вузлів  . Один із вузлів кола можна заземлити, розподіл струмів у колі при цьому не зміниться.

У колі три вузли  . Потенціал вузла 3 вважаємо нульовим:  Задаємось напрямками струмів у вітках, як показано на рисунку і записуємо рівняння за першим законом Кірхгофа для для вузлів 1, 2.

Струми у вітках виражаємо через потенціали відповідних вузлів і параметри віток за законом Ома:

де:  - провідності відповідних віток.

Підставляєм вирази для струмів у початкові рівняння:

Зводим подібні члени.

Відомі члени рівнянь переносимо у праву частину:

Введем позначення:

 - власна провідність першого вузла (сума провідностей віток, що належать першому вузлу),

- власна провідність другого вузла(сума провідно-стей віток, що належать другому вузлу),

 - взаємна вузлова провідність між першим і другим вуз-лами.

 - Вузловий струм першого вузла (алгебраїчна сума джерел струму віток, які належать першому вузлу).

- вузловий струм другого вузла (алгебраїчна сума джерел струму віток, які належать другому вузлу).

При цьому, як бачимо, враховуються струми джерел, еквівалентних дже-релам напруги цих віток.

Увага! Правило знаків.Якщо джерело струму або ЕРС спрямовані до вуз-ла то вони входять у вузловий струм зі знаком «+», інакше – зі знаком «-» . Власні провідності входять у рівняння зі знаком «+», а взаємні –зі знаком «-».

У загальному вигляді рівняння для кола, з двома незалежними вузлами записуються так:

Аналогічно для кола з n незалежними вузлами :

5. Метод накладання (суперпозиції)

Метод ґрунтується на принципі накладання, згідно з яким струм у вітці складного кола вважають одержаним від накладання часткових струмів, що виникають у вітці від незалежної дії кожного джерела окремо. Відповідно до цього складне коло з кількома джерелами енергії розглядають як сукупність простих кіл, які містять лише одне джерело. Розрахувавши прості кола, визначають за величиною i напрямком часткові струми, спричинені дією кожного джерела окремо. Дійсний струм у будь-якій вітці складного кола від одночасної дії всіх джерел обчислюють шляхом накладання, тобто алгебраїчного складання часткових струмів, що проходять цією віткою.

Переваги: спрощуються розрахунки, оскільки складне коло перетворюється на кілька простих кіл.

Зауваження: методом накладання можна користуватися тільки для розрахунку лінійних кіл та якщо у колі не більше двох-трьох джерел енергії.

Порядок розрахунку: 1. Залишити у схемі лише одне джерело енергії, замінивши інші джерела їх внутрішніми опорами (у ідеального джерела напруги R₀ = 0 і його необхідно замінити відрізком провідника; у ідеального джерела струму R₀ = ∞ i його потрібно вимкнути).

2. Розрахувати часткові струми від дії джерела, що залишилось .

3. Обчислити часткові струми, спричинені дією інших джерел енергії.

4. Визначити дійсні струми у гілках алгебраїчним складанням часткових: довільно вибрати додатний напрямок струму у вітці, що розглядається, а часткові струми, напрямок якого збігається з умовно-додатним, слід враховувати зі знаком "+"; напрямок яких не збігається − зі знаком "−".

6. Методи еквівалентних перетворень

Еквівалентні перетворення застосовують для зменшення кількості віток або вузлів у схемі, що веде до зменшення числа розрахункових рівнянь i скорочення обчислювальної роботи. Перетворювати можна i пасивні i активні ділянки кола.

Рис. 2.5

Умови еквівалентних перетворень: напруги i струми в не перетворених частинах схеми повинні залишатися незмінними. Нижче наведено поширені методи заміни однієї схеми іншою, еквівалентною.

Взаємне еквівалентне перетворення з'єднань споживачів енергії "трикутником" i "зіркою" (рис. 2.5).

Формули перетворення "трикутника" на "зірку":

, , .

Формули перетворення "зірки" на "трикутник":

, , .

Метод еквівалентного генератора.

Рис. 2.6

 Метод використовується, коли потрібно обчислити струм тільки в одній вітці і базується на теоремі про еквівалентний генератор або активний двополюсник. Під активним двополюсником розуміють частину кола, що містить джерела енергії i з’єднується з іншими елементами кола двома затискачами (рис. 2.6).

Згідно з теоремою, струм у гілці, що ввімкнена на затискачі 1-2, залишається незмінним, якщо активний двополюсник замінити еквівалентним генератором з ЕРС Е_ekb i його внутрішнім опором R_ekb (див. рис. 2.6). Е_ekb обчислюється як напруга U₁₂ на затискачах 1-2 при вимкненій досліджуваній гілці (режим холостого хода), Е_ekb= U₁₂; величина R_ekbрозраховується як еквівалентний опір двополюсника відносно затискачів 1-2 у тому ж режимі холостого ходу.

Після такої заміни складне коло можна зобразити одно контурною схемою, струм в якій легко визначити за законом Ома.

Порядок розрахунку:

1. Вимкнути із схеми гілку, в якій потрібно обчислити струм, i позначити затискачі будь-якими індексами, наприклад 1 і 2.

2. Визначити напругу U₁₂, користуючись найбільш раціональним у даному випадку методом розрахунку складних кіл.

3. Визначити еквівалентний опір кола R_ekb між затискачами 1 i 2 , замінивши джерела енергії їх внутрішніми опорами (ідеальне джерело напруги замінити відрізком провідника з нульовим опором, ідеальне джерело струму вимкнути).

Еквівалентний опір кола R_ekb можна визначити за режимами холостого ходу та короткого замикання: вимірюється величина струму, що протікає через клеми двополюсника при їх короткому замиканні, I_кз. Тоді еквівалентний опір R_ekbміж затискачами 1 i 2 буде: R_ekb = U₁₂/ I_кз.

4. Скласти схему еквівалентного генератора та обчислити струм у гілці за законом Ома:

Зауваження: на загал гілка, в котрій потрібно обчислити струм, може включати також джерело напруги або з’єднувати довільну частину електричного кола.

7. Потужність в колах постійного струму

Оскільки значення сили струму і напруги постійні, та дорівнюють миттєвим значенням у будь-яку мить часу, то потужність можна обчислити за формулою:

 P=I∙U

Для пасивного лінійного кола, у якому виконується закон Ома, можна записати:

P=I²∙R=U²/R , де R ‒ активний опір

Якщо коло містить джерело ЕРС, то потужність електричного струму, що віддається ним або поглинається на ньому, дорівнює:

P=I∙E, де Е ‒ ЕРС

Якщо струм усередині джерела живлення, направлено проти градієнту потенціалу (тече всередині джерела від плюса до мінуса), то потужність поглинається джерелом ЕРС з мережі (наприклад, під час роботи електродвигуна або зарядки акумулятора), якщо струм співнаправлений (тече всередині джерела живлення від мінуса до плюса), то потужність віддається джерелом у мережу (скажімо, за роботи гальванічної батареї або генератора). Під час обліку внутрішнього опору джерела ЕРС, потужність, що виділяється на ньому (p=I²∙r{\displaystyle p=I^{2}\cdot r}) додається до потужності, що поглинається, або віднімається від потужності, що віддається.