Тема 6. Аналіз електронних кіл

1. Аналіз електричних кіл постійного струму

Під аналізом електронних кіл розуміють визначення змінних, які характеризують електричний стан кола на підставі відомих параметрів елементів кола та способу їхніх з’єднань.

Очевидно, аналіз електричного кола відбувається на підставі математичної моделі схеми, що відповідає цьому колу. Тобто аналіз електричного кола у математичному розумінні зводиться до роз’язання деякого рівняння чи системи рівнянь. Існують різні види аналізу електричних кіл, взаємоз’язок між якими показано на рис.4.1.

 

Рис.4.1.  Види аналізу електричних кіл

2. Аналіз електричних кіл постійного струму та їх розрахунок

У колах постійного струму всі струми і напруги є величинами незалежними від часу, тобто сталими. Як наслідок цього елементами відповідних електричних схем, з названих у розділі 2, можуть бути лише резистори  чи резистивні багатополюсники, а також джерела постійної ЕРС чи струму. Наявність у схемі тільки резистивних елементів є причиною того, що доволі часто цей вид аналізу називають розрахунком резистивних електричних кіл, хоча цілковитої відповідності між цими двома назвами немає, оскільки в резистивних колах можуть бути і джерела змінної напруги чи струму. Остання особливість зумовлює певну специфіку розрахунку резистивних схем змінного струму, особливо це стосується нелінійних кіл.

 

1.1. Розрахунок лінійних кіл постійного струму

Математичні моделі лінійних електричних кіл постійного струму, як це було показано у розділі 2, у будь-якій  формі являють собою систему лінійних рівнянь стандартного вигляду

                                                    ,                   (4.1)

де змінними x є ті чи інші струми або напруги схеми, A – матриця, елементи якої визначаються опорами (провідностями) резисторів, а компоненти вектора c визначаються параметрами джерел енергії jk,ek.

            Розв’язання цієї системи рівнянь у загальному вигляді виглядає так:

              ,                    (4.2)

де – обернена матриця до матриці . Очевидно, під час знаходження оберненої матриці можуть виникнути певні труднощі, однак сьогодні вони успішно вирішуються засобами обчислювальної математики та можливостями сучасних комп’ютерів.

            У разі змінних у часі струмів та напруг вираз (4.2) залишається справедливим, однак у такому разі вектор  стає вектор-функцією часу і, отже, розв’язується задача розрахунку лінійних резистивних кіл змінного струму.

            Описаний вище підхід зручно застосовувати, коли є потреба визначити усі струми та напруги схеми. Однак доволі часто дослідника цікавить струм чи напруга лише одного елемента схеми. У такому разі застосовують метод розрахунку, названий методом еквівалентного генератора. Суть цього методу полягає у такому поданні схеми (рис.4.2, а).

Рис.4.2.  Подання схеми за допомогою еквівалентного генератора

 

            Двополюсник ЕД (рис.4.2, б) містить всі елементи схеми, крім одного, в якому необхідно визначити струм, і опір якого позначимо R. На наступному кроці розрахуємо напругу на затискачах двополюсника ЕД при від’єднаному резисторі , яку називають напругою холостого (неробочого) ходу і позначають Uнх. Після цього, вилучивши у вказаному двополюснику всі джерела енергії  закорочуванням джерел ЕРС і розриванням джерел струму, знайдемо його опір, який позначимо через  і назвемо внутрішнім опором еквівалентного двополюсника. Тоді, як це видно з рис.4.2, в, шуканий струм знаходять за формулою:

                                  .                                         (4.3)

Приклад 4.1. Визначимо струм  показаний на схемі (рис.4.3, а) методом еквівалентного генератора

Рис.4.3.  Схема до прикладу 4.1

 

На рис.4.3, б показаний еквівалентний двополюсник, напругу неробочого ходу якого  легко визначити так   

а на підставі схеми (рис.4.3, в) очевидним є той факт, що внутрішній опір цього двополюсника r=R1.

Отже, шуканий струм дорівнює

3. Особливості розрахунку нелінійних резистивних кіл

Нелінійним електричним колом називається коло, в якому хоча би один елемент має нелінійну характеристику.

Складність аналізу таких кіл полягає у тому, що відповідні їм математичні моделі мають вигляд нелінійних рівнянь чи системи рівнянь, а як відомо, загальних методів аналітичного розв’язання таких рівнянь не існує. Тому для аналізу нелінійних електричних кіл, зокрема, резистивних використовують або графічні, або числові методи. Графічні методи є простими, не вимагають запису математичних моделей схем, однак їх можна ефективно застосовувати лише для аналізу доволі простих схем.

Основою числових методів аналізу є ті чи інші методи наближених обчислень, які потребують значних обчислювальних затрат. Причому розв’язок є сукупністю чисел, а не аналітичним виразом, що ускладнює його якісний аналіз. Однак універсальність названих методів та можливості простих комп’ютерних засобів зумовили нині їхнє широке використання.

 

 

 

Графічні методи

            Розглянемо побудову вольт-амперних характеристик з’єднаних нелінійних резисторів. Почнемо із розгляду елементарних способів з’єднання двох резисторів: послідовного та паралельного (рис.4.4)

Рис.4.4.  З’єднання двох нелінійних резисторів: а –  послідовне;

б – паралельне

 Вольт-амперні характеристики (ВАХ) резисторів , показано на рис.4.5.

Враховуючи відомі співвідношення – для послідовного та – для паралельного з’єднання, можна сформулювати правила побудови ВАХ  послідовно чи паралельно з’єднаних резисторів.

 а) Послідовне з’єднання

При послідовному з’єднанні двох резисторів для одержання деякої точки ВАХ з’єднаних резисторів необхідно для вибраного значення струму провести горизонтальну пряму до перетину з ВАХ окремих резисторів і визначити на підставі точок перетину значення напруг на окремих резисторах. Графічно додавши ці величини, отримаємо значення напруги на послідовному з’єднанні, яке відкладаємо на проведеній раніше горизонтальній прямій. Так отримується точка  результуючої ВАХ.

Сказане  вище проілюстроване на рис.4.5, де ВАХ послідовного з’єднання резисторів зображене кривою 3.

 б) Паралельне з’єднання

 При паралельному з’єднанні двох резисторів для отримання   деякої точки ВАХ з’єднаних резисторів необхідно для вибраного значення напруги провести вертикальну пряму до перетину з ВАХ окремих резисторів і визначити на підставі точок перетину значення струмів через окремі резистори. Графічно додавши ці величини, одержимо значення струму в паралельному з’єднанні, яке відкладаємо на проведеній раніше вертикальній прямій. Так отримуємо точку  ВАХ паралельного з’єднання двох резисторів.

Результуюча ВАХ показана на рис.4.5 кривою 4.

 

Побудова кривої струму у нелінійному резисторі.

Суть цієї задачі полягає у графічній побудові часової залежності струму у нелінійному резистивному двополюснику , до якого прикладена змінна напруга . ВАХ резистивного елемента задається графічно. Сама процедура побудови показана на рис.4.6 і її часто називають методом трьох площин.

Перша координатна площина утворюється осями  і в цій площині відображається ВАХ заданого резистивного двополюсника.

Друга координатна площина утворена віссю , а також віссю , яка збігається з віссю  попередньої координатної площини. У цій площині будується графік змінної напруги, прикладеної до резистора.

Третя площина має координатні осі , причому вісь  збігається з віссю  першої координатної площини і вони слугують для відображення графіка струму у резистивному двополюснику.

Рис.4.6. Ілюстрація методу трьох площин

 

Процедура побудови кривої струму, як це видно з рис.4.6, полягає у тому, що спочатку для заданого момента часу  знаходять значення напруги, прикладеної до резистора , а після цього, проектуючи це значення на графік ВАХ, отримують значення струму в той самий момент часу, який відображається на осі

 

2.2. Числові методи розрахунку нелінійних резистивних схем

Як уже було сказано вище, суть числових методів полягає у наближеному розв’язанні математичної моделі нелінійного кола. Тому детальніше розглянемо формування математичної моделі нелінійної резистивної схеми.

 

Математична модель схеми з одним нелінійним резистором

У такому разі нелінійну схему зручно подати так, як зображено на рис.4.7.

Рис.4.7.  Подання електричної схеми з одним нелінійним резистором

 

Двополюсник ЛД, показаний на рисунку, містить всі лінійні елементи схеми, тобто на підставі методу еквівалентного генератора він може бути поданий неідеальним джерелом ЕРС з параметрами , які легко розрахувати.

Аналізуючи спрощену схему (рис.4.7, б), на підставі другого закону Кірхгофа можна записати рівняння

                       ,                                                           (4.4)

або, врахувавши рівняння ВАХ нелінійного резистора , отримаємо математичну модель у такому вигляді:

                                                                             (4.5)

Приклад 4.2. Записати математичну модель такої нелінійної резистивної схеми. 

    

Рис.4.8. Схема до прикладу 4.2

 

Неважко переконатись, що параметри еквівалентного генератора двополюсника рис.4.2, б такі

                                                         .

            Тоді згідно з (4.5) математична модель заданої схеми матиме вигляд:

                                                .

Побудова математичних моделей резистивної схеми із декількома нелінійними елементами

            Будь-яку електричну схему з декількома нелінійними резисторами можна подати у такому вигляді, зображеному на рис. 4.9.

Рис.4.9.  Подання резистивної схеми з - нелінійними резисторами

 

            На рис.4.9 ЛБ є лінійним резистивним багатополюсником, тобто його можна описати, зокрема, рівнянням в - параметрах  (2.43)

               ,                                                             (4.6)

де – вектори струмів та напруг лінійного багатополюсника; – вектор вільних струмів багатополюсника ; – матриця –параметрів багатополюсника. Очевидно, що струми та напруги багатополюсника є одночасно струмами та напругами нелінійних резисторів.

            ВАХ нелінійних резисторів можна записати також у вигляді векторного співвідношення

                 ,                                                   (4.7)

де

є деякою вектор-функцією, компонентами якої є вирази ВАХ окремих нелінійних резисторів.

Підставивши вираз (4.7) у рівняння (4.6), отримаємо математичну модель цієї схеми у матричному записі:

                                            .                                     (4.8)

Приклад 4.3. Запишемо математичну модель схеми, показаної на рис. 4.10.

Рис.4.10. Схема до прикладу 4.3

            Запишемо рівняння в –параметрах лінійного триполюсника ЛБ стосовно напруг, показаних на рис.4.10, б.

З урахуванням виразів ВАХ нелінійних резисторів

 математична модель схеми (рис.4.10, а) матиме такий вигляд

.

Підсумувавши матеріал цього параграфа, що математичну модель нелінійних резистивних кіл можна подати у такому вигляді

                     ,                           (4.9)

де – вектор змінних схеми; як правило, це струми чи напруги нелінійних резисторів; – це деяка нелінійна вектор-функція.

4. Розв’язання рівнянь нелінійних електронних схем числовими методами

Оскільки найпростіша математична модель нелінійних резистивних схем є системою нелінійних алгебричних рівнянь стандартного вигляду (4.9), то для розв’язання її можна застосувати традиційні обчислювальні процедури, зокрема, метод Ньютона, чи метод простої ітерації.

            Метод простої ітерації реалізується згідно з такою ітераційною процедурою

                                                  ,                         (4.10)

– к-те наближення вектора змінних схеми, причому – початкове наближення, вибирається довільно, однак для того, щоб ітераційний процес згідно з (4.10) збігався, необхідно, щоб воно було доволі близько від розв’язку системи рівнянь (4.9).

            Ітераційний процес згідно з методом Ньютона є складнішим, водночас він має істотну перевагу перед методом простої ітерації, яка полягає у швидшій збіжності, а також менш жорстких вимогах до вибору початкового наближення.

            У разі розрахунку кола з одним нелінійним елементом система рівнянь (4.9) зводиться до одного рівняння з одним невідомим і тоді ітераційний процес реалізується згідно з такою формулою

               ,                                                  (4.11)

де   – похідна функції .

            Якщо ж у схемі, яка аналізується, є декілька нелінійних резисторів, тобто коли співвідношення (4.9) є системою нелінійних рівнянь, тоді запис рекурентної формули, що визначає ітераційний процес, є дещо іншим

                  ,                                      (4.12)

де  – матриця Якобі, або Якобіан, що визначається у такий спосіб:

                                                   .                                               (4.13)

            Як бачимо, рекурентні формули (4.10) – (4.12) є доволі зручними для комп’ютерної реалізації і це є основною причиною масового використання числових методів для аналізу нелінійних резистивних електронних схем.