Тема 1. Основні поняття теорії сигналів

4. Часовий (динамічний) опис сигналів

              Часовий (динамічний) опис сигналів            

Як елементарні сигнали у часовому описі складних сигналів використовують одиничний стрибок та дельта-імпульс.

                Одиничний стрибок (функція Хевісайда) загалом задається виразом:

                                                             (1.21)

Функція Хевісайда як елементарний сигнал.

                Застосування одиничного стрибка для математичного опису аналогових сигналів полягає в тому, що спочатку замінюють (апроксимують) аналоговий сигнал s(t) ступінчатим сигналом     , який утворюється як сума вписаних у сигнал s(t) та зміщених на Dt елементарних стрибкоподібних сигналів, амплітуди яких пропорційні до деяких вагових коефіцієнтів Dsk (див. рис. 1.4).


Рис.1.4. Заміна аналогового сигналу ступінчатим

Часовий опис сигналів як послідовності стрибкоподібних змін.

                Як видно з рис. 1.4, значення вагових коефіцієнтів Dsk у моменти часу tk=kDt дорівнюють різниці відліків сигналу s(t) у поточний і попередній моменти часу:

Dsk=s(tk)- s(tk-1)=s(kDt)-s((k-1) Dt)

                Поточне значення сигналу s(t) у довільний момент t£NDt наближено описує вираз:

                                    (1.22)

                Похибка апроксимації сигналу s(t) ступінчастим сигналом   буде зменшуватись зі зменшенням інтервалу Dt і у граничному випадку (Dt->0) сигнали s(t) та  будуть збігатися. У такому разі динамічну модель аналогового сигналу s(t), поданого через функції Хевісайда, отримуємо із (1.22) заміною дискретної змінної kDt неперервною змінною t, малих приростів [s(kDt)-s((k-1)Dt)] – диференціалом  , знака суми – інтегралом:

                                                      (1.23)

                        Інший спосіб математичного опису аналогового сигналу ґрунтується на використанні дельта-імпульсу (функції Дірака), який в загальному випадку задається виразом:

Функція Дірака як елементарний сигнал.

                                                                (1.24)

                Дельта-імпульс є імпульсом нескінченно короткої тривалості з нескінченно великою амплітудою та площею, що дорівнює одиниці, тобто

                                                                                    (1.25)

                Функція Дірака є похідною від функції Хевісайда, а функція Хевісайда – інтегралом від функції Дірака:

                                                                       (1.26)

                                                                       (1.27)

                Використовуючи дельта-імпульс, аналоговий сигнал s(t) апроксимують сигналом , що утворений зміщеними в часі на інтервали Dt прямокутними імпульсами заввишки sk=s(tk)=s(kDt)  та тривалістю Dt, як показано на рис.1.5

Часовий опис сигналів як послідовності прямокутних імпульсів.


Рис.1.5. Апроксимація аналогового сигналу послідовністю прямокутних імпульсів

 

                Розглядаючи кожний елементарний імпульс як різницю двох стрибків, зсунутих у часі один відносно одного на інтервал Dt, можемо наближено записати поточне значення сигналу s(kDt) в інтервалі kDt£t<(k+1)Dt у вигляді:


а для сигналу загалом:

                                          (1.28)

                Похибка апроксимації s(t) сигналом  буде зменшуватися у разі зменшення інтервалу Dt. У граничному випадку  (Dt->0), замінюючи у (1.28) дискретну змінну kDt неперервною змінною t, знак суми – інтегралом, та враховуючи (1.26), отримуємо динамічну модель аналогового сигналу з використанням дельта-функції:

                                                                       (1.29)

                Примітка: для одержання формули (1.29) використано  співвідношення:


                На закінчення зауважимо, що подання складного сигналу сукупністю елементарних однотипних сигналів дає змогу застосувати для  аналізу електричних кіл принцип накладання (суперпозиції), згідно з яким реакція лінійного електричного кола на дію цього складного сигналу дорівнює сумі реакцій, викликаних кожним елементарним сигналом. Використання цього принципу істотно полегшує аналіз електричних кіл і є основою багатьох поширених методів аналізу.