Тема 1. Електричні кола постійного струму

11. . Застосування законів Кірхгофа для розрахунків електричних кіл

11. Застосування законів Кірхгофа для розрахунків електричних кіл
Складним називають розгалужене електричне коло, що містить довільне
число джерел і споживачів, яку неможливо звести до комбінації послідовних і паралельних з'єднань.
Для розрахунків складного ланцюга застосовують закони Кірхгофа, при
цьому необхідно скласти стільки незалежних рівнянь, скільки гілок у схемі (m).
Спочатку складають рівняння за першим законом Кірхгофа. Для цього
довільно задаються напрямками струмів і позначають їх стрілками. При цьому якщо схема має n вузлів, те можна скласти тільки (n-1) незалежних рівнянь, тому що рівняння для останнього вузла буде наслідком попередніх. Тому длякожного вузла, крім останнього, записуємо рівняння: у лівій частині - алгебраїчна сума струмів (струми, спрямовані до вузла, тобто "втікають" у
вузол, беруться зі знаком "плюс", а струми, які спрямовані від вузла, тобто
"витікають" з нього - зі знаком "мінус"), у правій частині - нуль.
Інші рівняння складають за другим законом Кірхгофа. Тут теж треба
пам'ятати, що незалежні рівняння можна скласти тільки для тих контурів, які не утворюються в результаті накладення вже розглянутих, тобто кожний новий контур повинен містити принаймні одну нову гілку, яка не входила в рівняння, уже складені для інших контурів. Вибирають напрямок обходу контуру, як правило, за годинниковою стрілкою. Після чого складають рівняння, де в лівій частині - алгебраїчна сума напруг на всіх опорах контуру, а в правій частині - алгебраїчна сума ЕРС. При цьому позитивними (зі знаком "плюс") уважають ті струми й ЕРС, напрямку яких збігаються з напрямком обходу контуру, а негативними, (зі знаком "мінус") - напрямки яких протилежні напрямку обходу.
Розв'язок отриманої системи лінійних алгебраїчних рівнянь дає значення
струмів у галузях схеми.

Мал. 5. Схема складного ланцюга

Так, у схемі на мал. 5 три гілки (m=3, тому що необхідно знайти три
струми й скласти для цього три рівняння), два вузли (n=2), два незалежні
контури.
Для вузла 1 рівняння, складене по першому закону Кірхгофа, буде мати
вигляд:

Для вузла 2 рівняння складати нема рації.2 рівняння, що залишилися, складаємо за другим законом Кірхгофа.
Виберемо два незалежні контури (на малюнку 5 позначені римськими
цифрами I, II) і приймемо їхній обхід за годинниковою стрілкою. Тоді за
другим законом Кірхгофа одержимо:

Рівняння (13), (14), (15) становлять систему незалежних лінійних
алгебраїчних рівнянь, розв'язок якої дає значення струмів у галузях схеми:

Скористаємося методом Гауса. Із третього рівняння виразимо I3, із
другого I2 й підставимо їх у перше рівняння.

При відсутності сучасних засобів обчислювальної техніки розв'язок
системи з великим числом рівнянь методом Гауса, по формулах Крамера й т.п. методами лінійної алгебри був досить трудомістким. У цьому випадку було зручніше скористатися іншими методами розрахунків ланцюгів, так само заснованими на законах Кірхгофа, але таких, що дозволяють зменшити число рівнянь у системі – методами контурних струмів, вузлових напруг і ін.