Тема 3. Математичні моделі електричних схем

3. Формулювання законів Кірхгофа

Перший закон Кірхгофа  Алгебрична сума струмів елементів схеми, які утворюють вузол, дорівнює нулеві. Струми, які входять у вузол, беруться із знаком плюс, а ті, що виходять – із знаком мінус.

Математичний запис першого закону Кірхгофа має такий вигляд

                                         .                                          (2.12)

Другий закон Кірхгофа  Алгебрична сума напруг елементів схеми, які утворюють контур, дорівнює нулеві. Напруги, які збігаються з вибраним додатним напрямком обходу контуру, входять у суму із знаком “+”, а які не збігаються – беруться із знаком “-“.

Математичний запис другого закону Кірхгофа такий

                                      .                                    (2.13)

Якщо записати рівняння (2.12) для усіх вузлів, крім одного, а рівняння (2.13) для всіх незалежних контурів, то вони разом з системою рівнянь (2.11) утворять математичну модель електричної схеми у вигляді повної системи рівнянь, в якій кількість рівнянь і невідомих дорівнює 2n.

Як бачимо, сформувати повну систему рівнянь електричної схеми доволі просто, однак така модель має істотний недолік, зумовлений великим розміром цієї системи.

Приклад 2.1 Сформуємо повну систему рівнянь електричної схеми, показаної на рис.2.12.

Рис.2.12. Електрична схема до прикладу 2.1

 Ця схема складається із чотирьох двополюсних елементів, тому що неідеальні джерела енергії вважаються одним елементом. Змінними, що визначають електричний стан схеми, є така сукупність струмів та напруг  Вузлів у цій схемі – три, вони позначені великими буквами А,В,О, а контурів, що утворюють незалежну систему – два, вони позначені римськими цифрами, біля яких показаний додатний напрямок обходу контурів.

Запишемо систему компонентних рівнянь

            Розглянувши два вузли (А, В) із трьох, запишемо співвідношення між струмами елементів згідно з першим законом Кірхгофа

            Контурні залежності згідно з другим законом Кірхгофа записуються так:

е

            Об’єднавши записані вище рівняння і виконавши елементарні перетворення, отримуємо повну систему рівнянь електричної схеми у такому вигляді: