Тема 1. Основні поняття теорії сигналів

3. Частотний (спектральний) опис сигналів

                Вище зазначалось, що елементарним сигналом, який використовують при спектральному описі сигналів, є гармонічний сигнал, що задається виразом:

                                                    s(t)=A_mcos(wt+j)=A_mcosy(t),                                                 (1.1)

де A_m – амплітуда (максимальне відхилення від нульового значення), розмірність якої збігається з розмірністю сигналу;

w – кутова швидкість, яку вимірюють у радіанах за секунду;

j – початкова фаза, яку вимірюють в кутових одиницях (радіанах або градусах).

Аргумент гармонічного сигналу y(t) =wt+j називають повною фазою.

                Гармонічний сигнал належить до неперервних у часі сигналів, які теоретично існують на необмеженому часовому інтервалі (-¥<t<¥), і задовольняють умову періодичності, тобто повторення миттєвих значень через певний проміжок часу, який називають періодом:

                                                                  s(t)=s(t±nТ),                                                               (1.2)

де Т – період сигналу, n – довільне ціле число.

                Оскільки за період відбувається зміна повної фази на 2p радіанів, то звідси випливає відоме співвідношення:

                                                                  Т=2p/w=1/f,                                                                (1.3)

 

де f – частота коливань, яку вимірюють у герцах [Гц], і яка пов’язана з кутовою швидкістю w співвідношенням: w=2pf.

                Зауважимо, що кутову швидкість w часто називають кутовою частотою або просто частотою, і надалі будемо теж користуватись цим терміном.

                Гармонічні сигнали мають цікаву властивість: похідна та інтеграл від гармонічного сигналу теж є гармонічним сигналом з тією самою частотою, амплітуда якого залежить від частоти, а початкова фаза зсунута на p/2 відносно фази первинного сигналу.

                Суть спектрального опису складних сигналів полягає у тому, що їх подають у вигляді нескінченної суми елементарних гармонічних сигналів з різними амплітудами, частотами та початковими фазами.

                Сукупність усіх елементарних гармонічних сигналів, які  в сумі утворюють заданий складний сигнал, називають спектром цього сигналу у базисі гармонічних коливань.

                Так, складний сигнал який періодично повторюється з частотою w₀=2p/Т₀,  (де Т₀=1/f₀ – період повторення), можна описати рядом Фур’є у тригонометричній формі у базисі гармонічних функцій з кратними частотами:

                                                        (1.4a)

або в компактнішій формі:

                                                                       (1.4б)

де А₀ – постійна складова (середнє значення сигналу за період);

С_к та S_к – амплітуди косинусних та синусних складових к-го порядкового номера;

А_к, j_к – амплітуда та початкова фаза к-ї гармонічної складової.

                Ці величини визначають на підставі формул:

                                         (1.5)

                                                 (1.6)

                                                     (1.7)

                Амплітуду А_к та початкову фазу j_к к-ї гармонічної складової визначають через С_к та S_к:

                                                                              (1.8)

  j_к = – arc tg(S_к/C_к).                                                         (1.9)

                        Зауважимо, що вирази (1.4а) та (1.4б) справедливі, якщо функція s(t) задовольняє умови Діріхле, тобто протягом періоду вона може мати скінченну кількість розривів першого роду, а також скінченну кількість максимумів та мінімумів і задовольняє умову абсолютної інтегрованості:

                Практично усі реальні сигнали задовольняють умови Діріхле, тому на практиці при спектральному поданні сигналів ці умови спеціально не акцентують.

                Отже, вирази (1.4а, 1.4б) описують спектр складного періодичного сигналу, який в загальному випадку складається з постійної складової А₀ та нескінченної кількості гармонічних складових, частоти яких становлять дискретний ряд значень kw₀ (k=1,2,3,...), кратних основній частоті w₀ . Ці складові називають гармоніками періодичного сигналу. Спектр, який складається з окремих складових, називають дискретним або лінійчастим. Гармоніку, яка відповідає номерові k=1, називають першою або основною гармонікою.

                У загальному випадку гармоніки, які входять до складу спектра, мають різні амплітуди та початкові фази. Щоб отримати наочне уявлення про спектр сигналу, використовують графічне зображення спектра у вигляді двох спектральних діаграм: амплітудної та фазової. Будуючи їх, на осі абсцис відкладають частоту, а на осі ординат – відповідно величини амплітуд А_к гармонік та їхні початкові фази j_к.

                На рис.1.2 для прикладу зображено амплітудну (а) та фазову (б) спектральні діаграми періодичного сигналу, поданого на рис. 1.2, в.

а

б

в

Рис.1.2. Амплітудна (а) та фазова (б) спектральні діаграми періодичного сигналу (в), який повторюється з частотою 

                Із спектральних діаграм видно, що відстань між двома сусідніми гармоніками по осі частот (тобто відстань між вертикальними лініями) дорівнює значенню частоти повторення w₀ періодичного сигналу. Це означає, що зі збільшенням частоти w₀ повторення або зменшенням періоду Т₀ сигналу відстань між вертикальними лініями на спектральних діаграмах збільшується (спектр стає рідшим, але займає ширший діапазон частот) і навпаки. Крім того, як випливає з виразів (1.5) – (1.7), зміна частоти повторення (або періоду) сигналу впливає також і на величину амплітуд гармонік.

                Згадану властивість спектра періодичного сигналу зручно використати під час визначення спектрів імпульсних сигналів, які не є періодичними.

                Приймемо, що імпульсний сигнал s(t) має форму поодинокого імпульсу (рис.1.3, а), який відрізняється від нуля на часовому проміжку (t₁, t₂).

Рис.1.3. До спектрального аналізу імпульсного сигналу

                Перетворимо заданий поодинокий імпульс на періодичний сигнал  повторенням його з довільним періодом T>(t₂-t₁), як показано на рис.1.3, б. Отриману періодичну функцію       розкладемо в ряд Фур’є, причому коефіцієнти А₀, А_к, С_к, S_к будуть тим меншими, чим більшим буде вибрано інтервал Т як період. Це випливає з виразів (1.5) – (1.7). Якщо період Т збільшувати до нескінченності, то всі імпульси, крім первинного, змістяться у нескінченність і залишиться лише первинний імпульс s(t).

                Отже,

                                                                            (1.10)

                При тому одержимо нескінченно малі амплітуди гармонічних складових, сума яких дає початкову неперіодичну функцію s(t), задану в інтервалі (t₁, t₂).

                Оскільки при Т®¥ основна частота функції w₀=(2p/Т) ®0, то це означає, що відстань по осі частот між спектральними лініями на спектральних діаграмах (яка дорівнює основній частоті w₀) стає нескінченно малою, а спектр – суцільним. Отже, доходимо висновку, що при спектральному поданні імпульсних неперіодичних сигналів отримуємо суцільний спектр, який складається з нескінченно великої кількості гармонічних коливань з нескінченно малими амплітудами, частота яких неперервно змінюється від нуля до нескінченності.

                Опишемо сказане математично. Амплітуди  косинусних та синусних складових к-ї гармоніки періодичного сигналу  записуємо виразами:

                                                             (1.11)

                                                      (1.12)

де w₀=2p/Т.

                Якщо Т зростає до нескінченності, то частота w₀ прямуватиме до нуля, і її необхідно замінити нескінченно малою величиною dw. Крім того, добуток кw₀ може набувати довільних значень і стане неперервною (а не дискретною) функцією к, тому величину кw₀ необхідно розглядати як неперервну змінну частоту w, яка змінюється від нуля до нескінченності.

                Враховуючи це, отримуємо вирази для малих амплітуд косинусних та синусних складових:

                                            (1.13)

                                              (1.14)

                Введемо позначення:

                                                                   (1.15)

                                                                   (1.16)

                Формули (1.15) та (1.16) називають відповідно косинус-перетворенням Фур’є та синус-перетворенням Фур’є.

                Результуючі амплітуди складових спектра на довільній частоті w дорівнюють:

                                          (1.17)

а їхні  початкові фази:

                                                   (1.18)                                                           (1.19)

Функцію G(w) називаюь модулем спектральної густини, що описує амплітудний спектр імпульсного сигналу, а функцію y(t), яка описує фазовий спектр цього сигналу, називають аргументом спектральної густини.

                Зауважимо, що спектральна густина – не спектр, а лише спектральна характеристика імпульсного сигналу, оскільки на конкретній частоті амплітуда відповідної спектральної складової дорівнює нулеві.

                Отже, імпульсний (неперіодичний) сигнал – це сукупність нескінченної кількості гармонічних складових із нескінченно малими амплітудами dA(w), початковими фазами y(w), частота яких неперервно змінюється від нуля до нескінченності, що математично можна записати так:

                                                       (1.20)